Mathe-Rätsel

OHHHHHH!

Das ist genial. Wie konnte ich das übersehen. Also na los:

Wow,

Ich komme mir vor wie in der Statistik Vorlesung. Ich wusste bis gerade nicht das „Fakultät“ irgendetwas mathematisches ist und habe auch absolut keine Ahnung welche Funktion die hat

Faszinierend, dass andere da irgendwas verstehen. Das finde ich wirklich.

Von mir wird’s keinen Lösungsvorschlag geben wollte aber mal meine Faszination hier lassen.

Und allen, die sich daran versuchen: Viel Spaß

Zitat von Amalthea

welche Funktion die hat

Die Fakultät ist vor allem in der Kombinatorik aber auch in der Komplexitätstheorie relevant. Nehmen wir an. Ich habe fünf Bälle. Einen grünen, einen roten, einen gelben, einen blauen und einen schwarzen. Ich stecke die alle in einen Sack und mische gut durch. Du bekommst nun 5 identische Bälle und musst mir eine Reihenfolge legen. Wenn du genau die Reihenfolge legst, in der ich die Kugeln ziehe, gewinnst du, sonst ich. Wie hoch stehen deine Chancen dann?

Ich habe 5 verschiedene Möglichkeiten den ersten Ball zu ziehen. Für jede (!) dieser Möglichkeiten habe ich dann die Möglichkeit 4 verschiedene Bälle zu ziehen. Also haben wir bereits nach den ersten zwei Ziehungen 5 * 4 = 20 Möglichkeiten. Treiben wir das Spiel nun weiter, so finden wir heraus, dass es 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 = 5! verschiedene Ziehmöglichkeiten gibt. Da ist also die Fakultät relevant. Deine Chancen zu obsiegen liegen also bei 1:120 bzw. ca. 0,833% x'D Bei 6 Bällen wäre es also 1:6! bzw. 1:720 usw. usf. Ein durchweg unfaires Spiel also, mit dieser Methodik bekommt man auch heraus, dass Lotto ein einziges Verlustspiel ist xD

(Die Komplexitätstheoretische Anwendung ignoriere ich jetzt mal, aber sie funktioniert so ähnlich)

Terano

vielen Dank für deine Erklärung. Auch wenn ich gestehen muss nicht alles zu 100% verstanden zu haben. Aber das Prinzip was dahintersteckt hast du sehr anschaulich erklärt, dass sogar ich eine Idee davon bekomme habe worum es dabei geht.

Auch von einer Komplexitätstheorie habe ich noch nie gehört und frage mich gerade noch mehr wie ich es geschafft habe mit Mathe im Abi (wenn auch nur als Grundkurs) zu bestehen

Aber ich glaube sowas hat ja auch zum Teil mit logischem Denken zu tun, was auch nicht unbedingt so meins. Ich denke da manchmal anders, wie man wohl denken müsste, glaube ich.

Beim Lotto ist aber ja die Reihenfolge in der man die Bälle zieht egal oder nicht? Das müsste dann doch die Rechnung verändern? Es ist doch wahrscheinlicher die richtigen Bälle irgendwie zu ziehen als zusätzlich noch in der richtigen Reihenfolge.

Zitat von Amalthea

Auch von einer Komplexitätstheorie habe ich noch nie gehört und frage mich gerade noch mehr wie ich es geschafft habe mit Mathe im Abi (wenn auch nur als Grundkurs) zu bestehen

Nee, das hat nichts mit dir zu tun. Komplexitätstheorie ist entweder Numerik I in einem Mathematikstudium oder Theoretische Informatik I in einem Informatikstudium (von letzterem habe ich es xD) Und ich liebe Mathe, daher freut es mich gerade darüber reden zu können, aber ich sehe ein, dass es nicht für jeden Menschen etwas ist xD

Zitat von Amalthea

Beim Lotto ist aber ja die Reihenfolge in der man die Bälle zieht egal oder nicht? Das müsste dann doch die Rechnung verändern? Es ist doch wahrscheinlicher die richtigen Bälle irgendwie zu ziehen als zusätzlich noch in der richtigen Reihenfolge.

Absolut korrekt und du ziehst auch nicht alle Bälle :D Wir müssen also die Theorie erweitern. Wir ziehen nur 6 (dies sei k) Kugeln aus 49 (dies sei n). Also beginnen wir mit n!=49! (eine unglaublich große Zahl). Jetzt müssen wir durch all die Faktoren der Kugeln teilen, die wir nicht ziehen. Das sind die restlichen 49-6=43=n-k Kugeln. Ihre Möglichkeiten werden also durch die Ziehung der letzten 43 Kugeln beschrieben, also existiert dafür 43!=(n-k)! Möglichkeiten. Diese müssen wir durch Teilen wieder aus dem vollständigen Ziehprozess aller Kugeln herausrechnen und erhalten: n!/(n-k)!=49*48*47*46*45*44=10.068.347.520, also die ersten 6 Faktoren für die ersten 6 Kugeln aus 49, die wir ziehen.

Wie du aber zurecht anmerkst, ist es egal, in welcher Reihenfolge wir die Kugeln gezogen haben. Also was muss geändert werden? Naja, wenn wir uns die fertige Ziehung betrachten, müssen wir alle Eventualitäten betrachten, wie wir zu dieser gekommen sein könnten. Wir könnten jeder der 6 Kugeln, die wir gezogen haben, zuerst gezogen haben. Für jede dieser 6 Möglichkeiten können wir als zweite Kugel eine der verbleibenden 5 gezogen haben. Also gab es 6*5=30 Möglichkeiten, wie wir zu zwei unserer Kugeln gekommen sein könnten. Für jede dieser 30 Möglichkeiten haben wir 4 Möglichkeiten die dritte Kugel erhalten zu haben (die verbleibenden vier), also 30*4 = 6*5*4 = 120 Möglichkeiten usw. und usf. Daher erhalten wir 6*5*4*3*2*1 = 720 Möglichkeiten wie wir zu genau diesen 6 Kugeln gekommen sein können. Dies ist also genau 6!=k!. Für jede unserer 10.068.347.520 Möglichkeiten von oben, existieren also 720 Möglichkeiten, dass wir zu genau dieser Ziehung gekommen sein können, also müssen wir die erste Zahl noch durch die zweite teilen, um auf unser Endergebnis zu kommen, also:
10.068.347.520 / 720 = 13.983.816 = (n!/(n-k)!)/k! = nach Rechenregeln für Brüche n! / ((n-k)! * k!).

Das ist ein so wichtiges Konstrukt, dass das sogar einen eigenen Namen hat: Es ist der sogenannte Binomialkoeffizient n über k geschrieben:

(n)

(k)

(eigentlich nur eine große Klammer) xD Also du hast eine Chance von 1: 49 über 6 = 13.983.816 zu gewinnen, das sind stolze 0,0000000715% ... viel Glück! xD

Ach krass, SO hieß das Ding also wo mir schon seit der Schule der Name nicht mehr dafür einfällt. Fakultät (!) und das ist bei 5 Bällen dann also 5! (Also 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Juhu. Danke.

Ich hab da nämlich schon länger ein privates Rechenproblem Terano

Kann ich das einfach mit Fakultät ausrechnen oder brauch ich da noch mehr für?

(Ich kann leider gar nicht rechnen, aber du vielleicht? ^^)

Und zwar ist die Frage, wenn ich 16 Kästchen habe und jedes 4 verschiede Möglichkeiten hat. (Also nehmen wir z.B. an es könnten die Zahlen 1-4 darin stehen) Wie viele Kombinationsmöglichkeiten ergibt das dann?

Also wenn es einfach NUR 16 verschiedenfarbige Kästchen wären dann wäre das 16! Kombinationsmöglichkeiten, richtig?
Aber was kommt dann noch dazu? Muss ich das Ergebnis dann hoch 4 nehmen? Oder ist das nur mal 4?

Oder muss ich das dann so rechnen als ob es (4*16) = 64 Kästchen hätte? Also 64!

(Sorry für die blöde Frage aber ich hab da echt null Ahnung.)

Und dann gab es da doch noch was mit "mit" oder "ohne" Widerhohlung bei der Fakultät? Oder?

Kein Problem, mir macht Mathe Spaß, also freue ich mich auch etwas "nerdy" sein zu können bzw. einfach über das Thema schreiben zu können xD

Zitat von Drachentränen

Wie viele Kombinationsmöglichkeiten ergibt das dann?

TLDR: 4^16 = 4.294.967.296 Möglichkeiten

Längere Version: Im Gegensatz zum Kugelspiel ist - wie du selbst anmerkst - bei dir die Reihenfolge nicht entscheidend. Nur weil ich die eine Möglichkeit in das erste Kästchen eintrage, bedeutet das nicht, dass ich denselben Eintrag nicht auch im zweiten machen kann. Die Anzahl der Möglichkeiten pro Kästchen ändert sich nicht über die Kästchen hinweg im Gegensatz zu unserem Kugelspiel, wo du eine Kugel, die du einmal gezogen hast, nicht zurücklegst und damit nicht noch einmal ziehen kannst. Das liegt hier anders, also ich habe für das erste Kästchen vier Möglichkeiten. Für jedes dieser Möglichkeiten habe ich auch vier Möglichkeiten das zweite Kästchen zu befüllen. Also existieren nach zwei Kästchen 4*4 = 4^2 = 16 Möglichkeiten. Für jede dieser 16 Möglichkeiten habe ich wiederum vier Möglichkeiten das dritte Kästchen zu befüllen, es ergibt sich also: 16*4 = 4^2 * 4 = 4^3 = 64 Möglichkeiten nach drei Kästchen. Die Argumentation setzt sich nun für jedes Kästchen fort, wodurch wir schlussfolgern können, dass das Endergebnis 4 hoch der Kästchenanzahl ist und da du 16 Kästchen hast: 4^16 = 4.294.967.296 Möglichkeiten.

Kombinatorische Spielereien explodieren schnell in der Anzahl der Möglichkeiten xD

Oh wow, danke Terano, das hab ich jetzt sogar verstanden. Bis zum zweiten Kästchen hätte ich mir das auch noch selber herleiten können aber dann wusste ich irgendwie nicht wie es dann weiter geht.

Also die Reihe wäre dann 4*4*4*4... usw. und das ist dann 4^16

Okay krass, ja, alles klar. (Sorry bei dem ganzen Zeugs bin ich damals in der Schule schon nicht mehr so wirklich mitgekommen. -> Dyskalkulie erblich bedingt.)

Also ist mein Kästchenproblem eigentlich ne total einfache Rechnung. Einfach nur 4^16

Vielen Dank.

Ich hab da nämlich mal so ein graphisch-mathematisches Ding angefangen. Muss gleich mal gucken ob ich das mit meinen neuen Erkenntnissen jetzt berechnen kann.

Aber das mit der Fakultät fand ich damals in der Schule auch total cool aber wusste dann später nicht mehr wie das hieß und da ich mich erinnern konnte dass das irgendwas mit Kombinationsmöglichkeiten zu tun hatte, dachte ich irgendwie das würde in dem Fall auch greifen. (Wir hatten das damals am Beispiel der Ziehung der Lottozahlen. ^^)

Also Leute, wenn ihr irgendein mathematisches Problem habt, fragt Terano. ^^

Ich setzte mal ein w für Wurzel, weil ich das Zeichen nicht auf der Tastatur habe

Stimmts?

Ich habe nicht geguckt, ehrlich.

42 ist die Antwort auf alles